A4紙可(kě)以說(shuō)是除了手紙以外，我們用得(de)最多的一種紙了，尤其是在學生(shēng)時代，打印複習資料啊、寫個情書(shū)啊、疊個千紙鶴啊……

 

爲什麽人(rén)們愛用A4紙？

 

或許A4紙能備受喜愛，可(kě)能與它給人(rén)類客戶的“服務精神”有關：低調、不張揚，卻給“客戶”極緻的使用體(tǐ)驗。

 

A3裁兩半，變A4

 

A4紙是生(shēng)活中最常用的紙規格。A系列的紙張規格特色在于：

 

1.A0、A2、…、A5，所有尺寸的紙張長寬比都(dōu)相(xiàng)同。

 

2.在A系列紙中，前面序号的紙対裁後，可(kě)以得(de)到兩張後面序号大(dà)小的紙，比如(rú)A0對裁後可(kě)以得(de)到2張A1，A1對裁可(kě)以得(de)到2張A2，依此類推。

 

 

 

這兩項特色讓A系列規格的紙張非常好用，畫(huà)在A4紙上的圖畫(huà)可(kě)以等比例放(fàng)大(dà)到A0海報上。手邊隻要有某一款A系列的紙，即能做出任意大(dà)小的A系列。這是A系列紙張特殊的長寬比——利希騰貝格比例的特殊比例√2：1，才能帶來(lái)這種特性。

 

舉實際的數字給各位看(kàn)：

 

 

A0是84.1厘米×118.9厘米118.9/84.1=1.41；

 

A4是21厘米×29.7厘米 ，29.7/21 =1.41；

 

A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41。

 

我們可(kě)以發現，這些比例都(dōu)趨近于√2。

 

 

換句話(huà)說(shuō)，我們都(dōu)享用了利希騰貝格比例的好處，卻很少人(rén)知道利希騰貝格比例是什麽，某種程度上，這就(jiù)是最極緻的體(tǐ)貼，讓人(rén)享用到它的好，卻察覺不到它的存在。

 

躲在A4裡(lǐ)面，還(hái)有更了不起的比例

 

黃(huáng)金比例1.618可(kě)以稱之爲比例之王，不管從(cóng)Google搜尋或被應用的範圍來(lái)說(shuō)，他(tā)都(dōu)是最常見(jiàn)的比例。不過，事(shì)實上還(hái)有類似黃(huáng)金比例的比例，和利希騰貝格比例一樣隐藏在A4紙裡(lǐ)面。

 

許多建築都(dōu)運用了黃(huáng)金比例；geogebra

 

這個比例的名字剛好跟《聖鬥士星矢》裡(lǐ)聖鬥士的階級相(xiàng)同，是黃(huáng)金聖鬥士之下的白(bái)銀聖鬥士，不，白(bái)銀比例——2.414。隻要以A4紙的短(duǎn)邊爲邊長，劃出一個正方形并裁掉，剩下長方形的長寬比即是白(bái)銀比例。我們可(kě)以驗證一下，A4紙的長寬比是√2：1，用短(duǎn)邊劃出正方形并裁掉後，剩下長方形的長寬比将會是1: [√2：1] = 2.414。

 

 

 

我們也可(kě)以把白(bái)銀比例表示成√2+1，它和(1+√5)/2的黃(huáng)金比例有許多相(xiàng)似之處。例如(rú)，他(tā)們都(dōu)和某個數列有關。

 

 

 

先前介紹過黃(huáng)金比例和費波那契數列：

 

1、1、2、3、5、8、13、21……

 

後一組數字除以前一組數字，便可(kě)以得(de)到近似于黃(huáng)金比例的比值。

 

白(bái)銀比例則用上了佩爾數列：

 

1、2、5、12、29……

 

拿前後兩組數字相(xiàng)除，可(kě)以得(de)到2、2.5、2.4、2.41、…越來(lái)越接近白(bái)銀比例2.414。我們可(kě)以用圖形的方式來(lái)解釋，爲何費波那契數列和佩爾數列中産生(shēng)黃(huáng)金比例或白(bái)銀比例。

 

首先，費波那契數列的第n組數字是前兩組數字的和，意即Pn = Pn-1 + Pn-2，例如(rú)21=8+13。

 

佩爾數列的第n組數字前一組數字的兩倍加上再前一組數字，意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如(rú)29=12×2+5。

 

再将費波那契跟佩爾數列的遞歸表示法除以Pn-1，可(kě)以得(de)到：

Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1。

 

Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1。

 

 

第一個式子表示，大(dà)的黃(huáng)金比例長方形是一個正方形加上一個小黃(huáng)金比例的長方形。

 

第二個式子則是，大(dà)的白(bái)銀比例長方形可(kě)以由兩個正方形，加上一個小的白(bái)銀比例長方形組合而成，如(rú)下圖所示。

 

白(bái)銀比例的服務精神

 

利希騰貝格比例讓紙張的使用更加便利，黃(huáng)金比例跟白(bái)銀比例的用途更廣泛，其中之一是在藝術(shù)上的貢獻。

 

例如(rú)下面的綠色菱形，對角線的長寬比剛好是白(bái)銀比例，因此可(kě)以用方才的幾何規則“兩個大(dà)的加一個小的”，将三個這樣的菱形，其中兩個橫放(fàng)，三個并排，制造出一個等比例放(fàng)大(dà)的藍色菱形，放(fàng)大(dà)的比例剛好是白(bái)銀比例。

 

這種特殊的菱形與正方形，是下圖複雜的伊斯蘭風(fēng)格拼貼鑲嵌的基本元素。

 

 

比起一般地闆磁磚的正方形，或蜂巢狀的六角形鑲嵌，這種鑲嵌更華麗美觀。這麽複雜的鑲嵌，除了基本構成的菱形需要白(bái)銀比例，鑲嵌過程也需要用上白(bái)銀比例，最後構成的衆多正八邊形裡(lǐ)，依然也有白(bái)銀比例。

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